¿Que es R3?

Para explicar de una forma adecuada el significado de el conjunto de R3 hay que primero definir que es el espacio tridimensional. Un objeto u ente es tridimensional si posee tres dimensiones, es decir, que posea los tres puntos dentro de un cierto rango, por ejemplo: anchura, altura y profundidad. Con esto definido podemos decir que el conjunto de R3 es una secuencia (lista ordenada) de tres números reales se llama trípla (tripleta, terna, triada) de números reales. El orden de los elementos es importante. Los números a1, a2, a3 se llaman componentes o entradas de esta trípla. Con estos tres números se pueden determinar estos tres factores que se necesitan para formar un objeto tridimensional en un plano vectorial, como citaremos mas adelante

¿Que es un vector?

                                       

En matemática se le conoce como vector a un elemento del espacio vectorial. Se puede representar como una magnitud cuyo modelo geométrico es un segmento de recta orientado, es decir, caracterizado por una dirección, una longitud (módulo) y un sentido.                                                 

¿Que son vectores en R3?, ¿Como se gráfica en R3?

   Como sabemos un vector es un segmento de recta y su dirección va a depender de los datos dados en el ejercicio, se dibuja en un plano vectorial o plano cartesiano formado por dos ejes X y Y incluyendo sus respectivos negativos que juntos forman una cruz, a esto se le conoce como vectores en R2 y representa el espacio bidimensional. A diferencia de esto están los vectores en R3 que es un vector (o varios dependiendo del ejercicio) en un plano cartesiano que representa el espacio tridimensional con la inclusión de un nuevo eje perpendicular llamado Z. Ahora el vector no apunta a una punto en el plano si no que se dirige a un punto cualquiera en el espacio.

   Para gráficar en el espacio tridimensional es necesario que el vector tenga una tripla de números reales, tendríamos que tener un vector A=(a1, a2, a3). Si ejemplificáramos esto con números reales quedaría algo como esto A=(4, 6, 5). Este conjunto de números reales nos dará los puntos en donde se forma una linea paralela al eje con el que se va a cruzar (yo tomo como ejemplo al eje que le sigue contrario a las agujas del reloj) partiendo desde sus respectivos ejes, al cruzarse forman un punto en el Octante correspondiente. Así es como básicamente se gráfica usando la tripla de números reales, los ejes y los Octantes.

   Usando como ejemplo el vector A=(4, 6, 5), el a1 (4) representa al eje X, el a2 (6) representa al eje Y, y el a3 (5) representa al eje Z.

   Ya habiendo marcado los puntos el eje Z se cruza con el eje X

   Luego el eje X se cruza con el eje Y

   Y por ultimo el eje Y se cruza con el eje Z  

   Como vemos tenemos los puntos marcados en las paredes del Octante, pero ¿como hacemos para que tome su lugar en el espacio tridimensional? simple, el aspecto tridimensional se lo dará el vector. hay otro punto que es donde se cruzan los tres ejes y este se forma en el espacio, de esta forma:

   Este punto se logra haciendo lineas paralelas a los ejes.

   Con esto podemos lograr cerrar el cubo y ya lo que queda es gráficar el vector que va hacia este punto en donde se cruzan los tres ejes en el espacio tridimensional.

Elementos de un vector

                             

   Los elementos de un vector son 3: Modulo, Sentido y Dirección.

Modulo: Es la longitud o medida del vector desde que comienza hasta que acaba, y siempre en positivo.

Dirección: Determinamos la dirección de un vector con el anglo que se forma con el eje X del plano. Se le llama Dirección a la dirección recta que contiene.

Sentido: Dos vectores que tienen la misma dirección pueden tener igual o diferente sentido, dependiendo de los signos positivos (+) o negativo (-) que se le asigne a cada vector.

   Los vectores también pueden ser Opuestos, Libres o Iguales:

Iguales: Dos vectores se consideran iguales si tienen el mismo  módulo, dirección y sentido.

Opuestos: Dos vectores se consideran opuestos, cuando tienen el mismo modulo, dirección y sentido opuesto.

Libre: El vector libre es independiente del lugar en el que se encuentra y no tiene una ubicación definida; puede trasladarse a cualquier  lugar del plano sin modificar ni su módulo, ni su orientación (dirección y sentido). Por esta razón se dice que los vectores son libres.

 

¿Que son Octantes?

   Cuando se dio la explicación de como graficar vectores en R3, se usó un termino que para muchos es desconocido, a continuación definiremos que es octante.

   El espacio tridimensional usado para el plano se ha dividido en 8 regiones llamadas octantes. La region dada por el eje X, eje Y y eje Z positivos se llama primer octante. y se irán nombrando en sentido contrario a las agujas del reloj. El segundo octante seria la region dada por los ejes X negativo, eje Y positivo y eje Z positivo. Del primero al cuarto octante estaran en la region superior, siempre con el eje Z positivo, mientras que del quinto al octavo estaran en la region inferior, con el eje Z negativo, empezando con el quinto octanto por debajo del primer octante.

¿Donde se pueden usar los vectores en R3 en la vida cotidiana?

   Ya hemos visto que como se usan los vectores para resolver problemas matemáticos, pero ¿Como podemos usarlos en la vida diaria?.

   Conocemos el significado de vector, no es mas que un segmento de recta con magnitud, dirección y sentido. Sabiendo esto podemos decir que un vector sirve o esta presente en cualquier momento de nuestra vida, al caminar, por ejemplo, estamos formando un vector desde donde partimos hasta nuestro punto de llegada, podemos decir que en esa distancia hay 5 metros lo cual seria la magnitud, la dirección nos la podrían brindar los puntos cardinales ya que nos podemos estar dirigiendo hacia el este, oeste, norte o sur, y el sentido se podría decir que es cuando uno va de regreso a su punto de origen o va saliendo de este. También se aplicarían los conjuntos de R3 ya que nos estamos desplazando en un espacio tridimensional

   Y no solo al caminar, también al lanzar un objeto, al mirar hacia algún lugar (con esto trazamos un vector con la mirada), al jugar pool y en distintas acciones que se aplicarían en el espacio tridimensional y así se puede decir que usamos vectores en R3.


   Si somos un poco mas técnicos, un ingeniero o arquitecto usan los vectores en R3 para dibujar los planos de la construcción en tercera dimensión. Y no solo ellos, también los productores de películas animadas usan vectores para crear el modelado de los personajes y escenarios en 3D. En mapas usados por los aviones o barcos también se usan vectores para fijar su curso. En fin, los vectores pueden tener un uso muy extenso ademas de para resolver problemas matemáticos.
   Modelado de rostro en animación digital 3D      Planos de una casa en AutoCAD (Ingenieria)

Conclusión

   Los vectores son segmentos de recta dibujados en un plano, en este caso teniendo un origen y apuntando a cualquier lugar del espacio ya que estamos hablando de vectores en R3, a diferencia de los vectores en R2 que apuntan a un lugar en el mismo plano. Tenemos otras diferencias con los vectores en R2, tal como que ahora trabajamos en el espacio tridimensional, la introducción de un nuevo eje llamado Z, el doble de regiones que ahora son 8 llamadas octantes, y que el vector tendra un conjunto de tres numeros reales en lugar de dos A=(a1, a2, a3). Ya vimos que los vectores se pueden usar en cualquier aspecto de nuestra vida cotidiana ya sea caminar, ver, leer mapas, construir edificaciones y hacer animaciones en 3D. En fin, los vectores nos ayudan a comprender mejor el espacio tridimensional que nos rodea.